体一つできてもらって大丈夫です。
必要であれば、カメラやメジャー、紙とペンをお持ち下さい。
（大抵不動産屋は装備してますので持ってこなくても問題はありません！）
「物件がよければ申込をする！」という気で内見する場合は、申込の際に身分証が必要になりますのでお持ち下さい。
・ 顔付きの身分証明書 (運転免許証・パスポート・学生さんの場合、学生証等)
・ 保険証 （在籍の確認の代わりに提出するケースが多いです）
入学や就職などの場合は、内定通知書もお持ち頂くとスムーズです。
必要なものは以上2~3点です。
印鑑は契約の際は必要ですが、申込時点では必要ありません。（基本的には）
申込の際に手付金（預り金）は必要ありません。（基本的には）
管理会社によって、他にも必要な書類がある可能性がありますが、基本的にはこちらをお持ち頂ければ部屋止めまではすることができます。
持ち物ではありませんが、お持ちの「冷蔵庫」と「洗濯機」のサイズは測ってきた方が内見時に困りません。（冷蔵庫スペースに収まるかどうか、洗濯機が収まるかどうか、ドラム式の場合にドアを通せるか。この辺りは心配される方が意外と多いです。）
上記以外では、収入証明が審査時に必要になる可能性があります。（源泉徴収票、確定申告書、納税証明書、給与明細など）
特に自営業の方は提出を求められるケースが多いです。
これについては多くの場合、追加の書類は後日FAXやメールで送って頂く形でも大丈夫です。
公的証明の指定がある場合もあるので、事前に準備は手間かと思いますので申込時に確認をしたものをご用意頂いた方が確実です。